吴军《数学通识50讲》学习笔记 1

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导论

00:发刊词:数学到底应该怎么学?

上个世纪80年代,国内流行过一句口号:“学好数理化,走遍天下都不怕。” 因为当时的教学体系还不够完善,数理化这些基础学科比重大,而且容易培养出建设性人才,所以受到重视。随着综合教育体系的完善,这个口号也不再流行了。

数理化这些底层学科是不是牢固,决定了一个人的知识结构能搭多高,在专业上能走多远。

数学是一种抽象的知识体系,而我们人需要靠经验感知才能认识世界,这中间需要一个桥梁,这个桥梁一旦构建起来,每一个人都受益于数学。

在教学方面,我会模仿美国的数学教学方式,为你做好三件事,也是我这门数学课的三个教学特色:

  • 首先,我会为你重建这座通往数学的桥梁,帮你把那些熟悉的知识点各安其位,放进知识体系里。
  • 其次,在介绍这些关键数学知识点的同时,我会讲清楚它们在数学上的位置,以及和各种知识体系的相关性。这样不仅能够把各种知识打通,而且能够让你在自己的行业中超越绝大部分从业者。
  • 最后一点,也是最重要的,是通过学习数学,实现思维方式的跃进。

一个学好数学的最重要的办法是,不断训练自己的思维方式。

01:导论:数学通识课的体系和学习攻略

  • 模块一:数学的线索——从猜想到定理到应用
  • 模块二:数的概念 从具体到抽象
  • 模块三:几何学:一切源自公理和逻辑
  • 模块四:代数学 用数量描绘世界
  • 模块五:微积分 动态的世界观
  • 模块六:概率、统计、博弈论 从确定到不确定
  • 模块七:数学的基础作用 与其他学科的关系

模块一:数学的线索——从猜想到定理到应用

02:勾股定理:为什么在西方叫毕达哥拉斯定理?

勾股定义在国外都称为毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580年-约公元前500年)是古希腊著名的数学家和知识的集大成者。

其中两个疑点

  • 第一个疑点:这个定理是否在毕达哥拉斯之前就被发现了?
  • 第二个疑点:古埃及和美索不达米亚为什么不去争夺这个定理的发现权呢?

引出数学与自然科学3个本质差别:

  1. 测量和逻辑推理的区别(测量是会有误差的,但推理不会)。
  2. 用事实证实和用逻辑证明的区别(证实 vs 证明)
  3. 科学结论相对性和数学结论绝对性的区别

数学和自然科学不同,它不相信测量,不是建立在实证基础之上,而是建立逻辑基础之上的。数学不接受大部分情况正确,但包含例外的定理。

03:数学的预见性:如何用推理走出认知盲区?

公元前500年,毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实: 若正方形的边长为1,则对角线的长度是测不出来的。这个说法和毕达哥拉斯学派的观点严重冲突,因为他们认为 万物皆可数, 一个东西那么是整数 1, 2,5, 6, 7, 8,要么是两个整数的比值 5/6, 8/9, 5/18。

希伯索斯不但发现了根号2 不可能表示成两个整数的比值”而且给出了巧妙的证明:

毕达哥拉斯定理的一个直接结果指出了无理数的存在,它把人类对于数字的认识范围从有理数扩展到了无理数。

04:数学思维:数学家如何从逻辑出发想问题?

数学思维高深精妙,但是万法归一,最重要的那个原则就是,从逻辑出发想问题,这样就可以发现很多日常中被忽略的问题,从而找出真正答案。

次贷危机例子。

做投资的人都清楚,在一开始投资基数较小的时候,能够维持指数增长,一旦基数变大,就做不到了,还不切实际地想维持,就是拆东墙补西墙的庞氏骗局了。

这个骗局的本质是什么呢?就是大家炒来炒去,都是在赌一件事,就是今后15~30年,房价会一直快速上涨。

然而,房价不可能永远快速上涨,特别是在经济本身没有上涨的前提下。

“一带一路”数学合理性

中国在过去的四十年里,实现了每年8%的指数增长,除了中国人勤劳勇敢。另外有两个数学上的原因,一是因为最初的基数小,能够持续高速增长。二是过去国内市场空白一片,供不应求,国际上其它国家人均财富,比中国高很多,相比中国过去的生产能力,购买力近乎无限。

但是40年后的今天,中国人均GDP已经达到了世界的平均水平,总的经济体量已经世界第二,占全世界的18%。那么中国还能不能维持过去的增长速度呢?从数学上讲,根本做不到。

这样增长40年,只能增长1.5倍左右,那时中国GDP大约占到全世界50%。

这时只有两个办法,一个是提高世界其它地区的购买力和经济增长,另一个是让中国经济增长降到世界的平均水平。

05:数学边界:从毕达哥拉斯定理到费马大定理

数学本身的局限性

费马大定理(或者费马最后定理).

x^n + y^n = z^n(n >2时,没有正整数解)

费马大定理证明过程非常曲折。

对于三个世纪数学家们证明费马大定理的过程,我和大家分享我的三点体会:

  • 今天的数学(指纯粹数学,不是应用数学)真的很难,想在这方面取得突破性贡献不容易,
  • 数学是世界上最严密的知识体系,任何的推导不能有丝毫的纰漏.
  • 数学走到今天这一步,是在一个个定理的基础上一点点搭建起来的,而今天的成就,又为明天的发展奠定了基础,这样数学就获得了可叠加的进步.

纯数学这个学科除了需要一些运气之外,比拼的是人的智力,智力到哪个程度,成就就到哪个水平,这倒不是宿命论,而是说明人要根据自己的特长选择做事.

但是,很多问题最后证明找不到严格推导出来的解析解,当然这也不妨碍大家在工程上可以使用近似的数值解,解决实际问题.认清这一点,做事的方法也就改变了.

06:黄金分割:毕达哥拉斯如何连接数学和美学?

黄金分割,它的比例大约是1:0.618,也就是1.618。其美感来自几何图形的相似性。

除了在几何上层层相似,也反映了自然界的物理学特征.

或许正是因为黄金分割反映了宇宙自身的一个常数,我们对它才特别有亲切感,所以哪个建筑或者画作如果有意无意满足了这个条件,它就显得特别美.除了帕特农神庙,埃菲尔铁塔等建筑的主要尺寸的比例,也正好符合黄金分割,甚至符合等角螺旋线.

总而言之,数学和艺术,以及其他的知识体系有着千丝万缕的联系。

07:数学应用:华罗庚化繁为简的神来之笔

但是,很多真正高水平的数学家,他们不仅能够研究复杂的理论问题,还能够为复杂的实际问题找到简单的,可重复使用的解决方法,比如我国老一辈著名的数学家华罗庚先生。华先生是20世纪唯一一位能够称得上是世界级的中国数学家,他在数论等方面有很多贡献。

华罗庚 优选法。

08:数列和级数(一):当下很重要,但趋势更重要

斐波拉契数列增长的速率接近于黄金分割比1.618。

09:数列和级数(二):传销骗局的数学原理

拓展至生活中任何一件事情,不同的r(后一个元素与前一个元素的比值)会导致不同的增长结果。

10:数列和级数(三):藏在利息和月供里的秘密

债券交易的核心就是数学上的复利增长原理。买国债时,加息意味着同样面值的债券实际价值的贬值。

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