再谈“P vs NP”问题

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曾经写过一篇文章表达对计算机科学里著名的 “P vs NP” 问题的看法。当时正在研究那些东西,由于看透了却不在乎,所以写得特别简略。没想到有人看到后,还误以为我没仔细学过复杂度理论,说我是信口开河。我一般懒得谈论这种太理论的问题,身边也很少有人关心,所以后来干脆把文章撤了。

没想到最近又遇到有人抓住我删掉的文章,乘机跟我辩论这事。跟上课似的头头是道滔滔不绝,几乎把他本科算法课本上的内容给我背了一遍,却没有显示出任何他自己的思想。说王垠你太自以为是了,你知不知道“P vs NP”要是解决了,世界将有天翻地覆的变化,多少的计算难题会被解决,机器学习都没必要了,非对称加密全都被破解……

呃,我真是服了某些人,还是国内某大厂的 P10(注:不是我的在职公司)。鉴于很多人对此类问题的一知半解,反倒说我一知半解,我决定事后把这个问题再详细讲一下,免得以后还要为它费口舌。

对于初学者这篇文章有点门槛,需要学习一些东西。“P vs NP” 问题属于计算理论(Theory of Computation)的一部分——复杂性理论。计算理论不止包括复杂性理论(Complexity),还包括可计算性(Computability),也就是“停机问题”一类的内容。如果你没有系统的学习过复杂性理论,我建议你研读一下经典的计算理论教材,比如 Michael Sipser 的『Introduction to the Theory of Computation』。

我当年在 Indiana 做研究生计算理论课助教的时候,可算是把这书给看透了。其中“可计算理论”在我将来的 PL 研究中起了比较大的启发作用,而复杂性理论的用处一般。我觉得 Sipser 的书写的不够清晰透彻,但很多学校拿它做教材,好像也没有更好的替代品,所以将就着看吧。


“P vs NP” 真的重要吗?

“P vs NP” 这个问题有它的理论价值,它是有趣的问题,里面的有些思路有启发意义,值得花些时间来了解。但计算机科学界长久以来都严重夸大它的重要性,把一个很普通的问题捧上了天,吹得神乎其神。

很多人认为“P vs NP”是计算机科学最重要的问题。Clay 数学研究所甚至悬赏一百万美元解决这个问题,把它叫做数学界的 7 个千年难题之一,跟黎曼猜想并列其中。

好几次有人声称解决了“P vs NP”,上了新闻,闹得舆论沸沸扬扬,小编们吹得好像世界要天翻地覆了一样,把他们追捧为天才苦行僧,后来却又发现他们的结果是错的……

如果你真的理解了“P vs NP”的内涵,就会发现这一切都是闹剧。这个问题即使得到解决,也不能给世界带来很大变化。解决这个问题对于现实的计算,作用是微乎其微的。不管 P 是否等价于 NP,我们遇到的计算问题的难度不会因此有重大改变。

甚至有些数学家认为“P vs NP” 根本没有资格跟黎曼猜想一起并列于“千禧年问题”。我倒是希望有人真的解决了它,这样我们就可以切实的看到这有什么意义。

“P vs NP” 也许不是愚蠢的问题,但计算机科学界几十年以来夸大它的重要性的做法,是非常愚蠢的,让整个领域蒙羞。


什么是多项式时间?

真正重要的数学问题被解决,应该对现实世界具有强大的作用。这种作用可以是“潜在的”,它的应用可以发生在很久以后的将来,但这必须能够被预见到。数学家们把这叫做“applicable result”。否则这个数学问题就只能被叫做“有理论价值”,“有趣”,而不能叫做“重要”。即使所谓“纯数学”,也应该有可以预见的效果。

很多数学家都明白黎曼猜想(Riemann hypothesis)的重要性。大数学家希尔伯特说过:“如果我沉睡了三千年醒过来,我的第一句话会是‘黎曼猜想被解决了吗?’” 假设希尔伯特还在世,他会对解决“P vs NP”有同样的渴望吗?我觉得不会。实际上,很多数学家都觉得“P vs NP”的重要性根本没法和黎曼猜想相提并论,因为我们预见不到它会产生任何重要的效果。

很多人提到“P vs NP”总是跟你吹嘘,P 如果等于 NP,世界将有天翻地覆的变化:许许多多我们以前没法办到的事情,都将成为现实。非对称加密技术会被破解,生物化学将得到飞跃,机器学习将不再有必要……

这些人都忽略了一个重要的问题:什么是多项式时间。盲目的把“多项式”等同于“容易”和“高效”,导致了对 “P vs NP” 重要性的严重夸大。

n^100 是不是多项式?是的。n^(100^100) 也是多项式。实际上,n 的指数可以是任意大的常数…… 时间复杂度为 n^(100^100) 的算法,能用吗?所以即使 P=NP,你需要的计算时间仍然可以是宇宙毁灭好多次。

说到这里,又会有人跟我说你不懂,当 n 趋近于无穷的时候,非多项式总会在某个时候超越多项式,所以当 n “足够大”的时候,多项式时间的算法总是会更好。很可惜,“无穷”对于现实的问题是没有意义的。任何被叫做“重要”的问题,都应该在合理的时间内得到结果。

我们关心的要点不应该是“足够大”,而是“具体要多大”。精确的量化,找到实际可以用的区间,这才是合格的科学家该有的思路。计算机科学里,大 O 表示法泛滥成灾,只看最高次幂,忽略系数和常数项,也是常见的误区。我也曾经沉迷于如何把 O(n^3) 的算法降低到 O(n^2.9),现在回头才发现当年是多么的幼稚。

“多项式时间”这个概念太宽泛太笼统。以如此笼统的概念为基础的理论,不可能对现实的计算问题产生意义。我们关心的不应该仅仅是“是否多项式”,而是“具体是什么样的多项式”。多项式的幂,系数,常数项,它们的不同都会产生重大的差异。

这就是为什么“P=NP”没有很大意义,因为 P 本身太笼统,其内部的差异可以是天壤之别。与其试图笼统的证明 P 等价于 NP,还不如为具体的问题想出高效的算法。


P != NP 有意义吗?

“P vs NP”问题有两种可能性:P=NP(等于),或者 P!=NP(不等于)。以上我说明了 P=NP 的意义不大,那么要是 P!=NP 呢?

很多人会跟你说,要是一个问题是 NP-Hard,然后又有 P!=NP,那么我们就知道这个问题没有多项式时间的算法存在,就避免了为多项式时间算法浪费时间了。这不也有一些价值吗?

我并没有否认 P!=NP 是有那么一点价值:在某些时候它也许避免了浪费时间。但这种价值比较小,而且它具有误导性。

一个常见的 NP-Hard 问题是 SAT。如果 P!=NP,那么大家就应该放弃为它找到高效的算法吗?如果大家都这样想,那么现在的各种高效的 SAT solver 就不存在了。实际上,利用随机算法,我们在大多数时候都能比较快的解决 SAT 问题。

问题在于,“P vs NP”关心的只是“最坏情况”,而最坏情况也许非常罕见。有些问题大部分实际的情况都可以高效的解决,只有少数变态的情况会出现非常高的复杂度。为了这少数情况放弃大多数,这就是“P vs NP”的误导。

如果因为 P!=NP,你认为 NP-Hard 的问题就没有高效的算法,那你也许会误以为你可以利用这些“难题”来做非对称加密。然而 NP-Hard 并不等于没法快速解决,所以要是你因此被误导,也许会设计出有漏洞的加密算法。

即使 P!=NP,我们仍然不能放弃寻找重要的 NP-Hard 问题的高效算法,所以确切的证明 P!=NP 的价值也不是那么重要了。其实你只要知道 P=NP “大概不可能”,就已经能起到“节省时间”的目的了。你没必要证明它。


什么是 NP?

这一节我来讲讲“P vs NP”里的“NP”到底是什么。内容比较深,看不懂的人可以跳过。

很多人都没搞明白 NP 是什么就开始夸夸其谈“P vs NP”的价值。 经常出现的错误,是把 NP 等同于“指数时间”。实际上 NP 代表的是“Nondeterministic Polynomial time”,也就是“非确定性图灵机”(nondeterministic Turing machine)能在多项式时间解决的那些问题。

什么是“非确定性图灵机”?如果你把课本上那堆图灵机的定义看明白看透了,然后又理解了程序语言理论,你会发现所谓“非确定性图灵机”可以被很简单的解释。

你可以把我们通常用到的程序看作是“确定性图灵机”(deterministic Turing machine)。它们遇到条件分支,在同一个时刻只能走其中一条路,不能两边同时探索。

那么“非确定性图灵机”呢?你可以把“非确定性图灵机”想象成一个具有“超能力”的计算机,它遇到分支语句的时候,可以同时执行 True 和 False 两个分支。它能够同时遍历任意多的程序分支,这是一台具有超能力的机器!

所以“P vs NP”的含义大概就是这样:请问那些需要非确定性图灵机(超能力计算机)在多项式时间才能解决的问题,能够用确定性图灵机(普通计算机)在多项式时间解决吗?

现在问题来了,具有如此超能力的机器存在吗?答案当然是“No!” 就算是量子计算机做成功了,也不可能具有这样的计算能力。没有人知道如何造出非确定性图灵机,人们没有任何头绪它如何能够存在。

所以 “P vs NP” 这个 问题的定义,是基于一个完全假想的机器——非确定性图灵机。既然是假象的机器,为什么一定要是“非确定图灵机”呢?为什么不可以是其它具有超能力的东西?

仔细想想吧,“非确定性图灵机”对于现实的意义,就跟 Hogwarts 魔法学校和哈利波特对于现实的意义一样。我们为什么不研究“P vs HP”呢,其中 H 代表 Harry Potter。HP 定义为:哈利波特能够在多项式时间解决的问题。

“P vs NP”问题:请问那些需要非确定性图灵机(超能力计算机)在多项式时间才能解决的问题,能够用确定性图灵机(普通计算机)在多项式时间解决吗?

“P vs HP”问题:请问那些需要哈利波特在多项式时间才能解决的问题,能够用确定性图灵机(普通计算机)在多项式时间解决吗?

我不是开玩笑,仔细回味一下 “P vs NP” 和 “P vs HP” 的相似性吧。也许你会跟我一样意识到 NP 这个概念本身就是虚无的。我不明白“一个不存在的机器能在多项式时间解决的问题”,这样的说法有何意义,基于它的理论又有什么科学价值。

非确定性图灵机存在的意义,也许只是因为它可以被证明等价于其它一些常见的问题,比如 SAT。计算理论书籍一般在证明 SAT 与 非确定性图灵机等价性之后,就完全抛掉了非确定性图灵机,之后的等价性证明都是通过 SAT 来进行。

我觉得 NP 这个概念其实是在故弄玄虚。我们完全可以从 SAT 本身出发去发展这个理论,而不需要设想一个具有超能力的机器。我们可以有一个问题叫做“P vs SAT”,而不出现 NP 这个概念。

(有点扯远了)


其它质疑 P vs NP 价值的人

有人认为我质疑 P vs NP 的价值是一知半解信口开河,然而我并不是第一个质疑它的人。很多人对 P vs NP 都有类似的疑惑,但因为这个问题的地位如此之高,没人敢站出来。只要你开口,一群人就会居高临下指责你基础课程没学好,说你眼界太窄…… 再加上那一堆纷繁复杂基于图灵机的证明,让你有苦说不出。

由于这个原因,我从来没敢公开表达我的观点,直到我发现 Doron Zeilberger 的这篇文章。Zeilberger 是个数学家,Rutgers 大学的数学系教授。在那之前他开了个玩笑,戏称自己证明了 P=NP,还写了篇像模像样的论文。在文章里他告诫大家:不要爱上你的模型(Don’t Fall In Love With Your Model)。他这句话说到了我心里。

你还能在网络上找到其它学者对“P vs NP”的质疑,比如这篇来自于一位专门研究计算理论的学者:

Is P=NP an Ill Posed Problem?

我觉得他讲的也很在理。正是在这些人的鼓舞之下,我随手写出了之前对“P vs NP” 的质疑。只言片语里面,融入了我多年的深入学习,研究和思考。

我希望严谨的计算机科学工作者能够理解我在说什么,反思一下对“P vs NP”的理解。我希望计算机专业的学生能够理解“P vs NP”理论,但不必沉迷其中。这并不是一个值得付出毕生精力去解决的问题。计算机科学里面还有其它许多有趣而重要的问题需要你们去探索!

当然所有这些都是我的个人观点,我没有强求任何人接受它们。没人想抢走你们的玩具,但不要忘了,它只是玩具。


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